TOPOLOGIQUE (ALGÈBRE)

TOPOLOGIQUE (ALGÈBRE)

L’algèbre topologique est consacrée à l’étude d’ensembles munis d’une topologie et d’une structure algébrique définie par des lois de composition continues (cf. TOPOLOGIE, ALGÈBRE). Les exemples les plus importants sont les groupes topologiques, les espaces topologiques à groupe d’opérateurs, les espaces vectoriels topologiques (cf. espaces vectoriels TOPOLOGIQUES) et les anneaux topologiques dont les corps topologiques sont un cas particulier.

1. Groupes topologiques

Un groupe topologique est un espace topologique G muni d’une loi de composition interne continue : G 憐 GG vérifiant les axiomes d’une loi de groupe, notée multiplicativement (cf. GROUPES - Généralités) et telle que l’application x 料 x size=1^漣1 de G dans lui-même soit aussi continue (c’est alors un homéomorphisme involutif de G sur G). Un morphisme de groupes topologiques est une application continue qui est un homomorphisme de groupes.

Soit G un groupe topologique; si a 捻 G, la translation à gauche:

est un homéomorphisme de G sur lui-même qui transforme l’élément neutre e en a (l’homéomorphisme réciproque est 塚^{a -1}). Ainsi les voisinages de a sont les images 塚^a (V) = a V par 塚^a des voisinages V de e (on pourrait aussi utiliser les translations à droite). Par suite, la loi de groupe de G étant supposée connue, sa topologie est déterminée par le filtre face=F9796 W des voisinages de e ; ce filtre a les propriétés suivantes:

(GV¹) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, il existe V 捻 face=F9796 W tel que VV 說 U; cette condition exprime que la loi de G est continue en (e , e ).

(GV²) Quel que soit U 捻 face=F9796 W, on a U size=1^{漣 1} 捻 face=F9796 W; cette condition exprime que x 料 x size=1^{漣 1} est continue en e .

(GV³) Quels que soient U 捻 face=F9796 W et a 捻 G, on a a Ua size=1^{漣 1} 捻 face=F9796 W; autrement dit, l’automorphisme intérieur x 料 axa size=1^{漣 1} est un homéomorphisme de G sur G.

Notons que la condition (GV³) est automatiquement vérifiée si G est commutatif. Inversement, considérons un groupe G et un filtre face=F9796 W sur G possédant les propriétés précédentes; il existe sur G une topologie et une seule faisant de G un groupe topologique et pour laquelle face=F9796 W est le filtre des voisinages de e .

Tout homomorphisme d’un groupe topologique dans un autre qui est continu en l’élément neutre est continu partout; donc c’est un morphisme de groupes topologiques.

Exemples

1. On fait d’un groupe quelconque G un groupe topologique en le munissant de la topologie discrète .

2. La droite numérique réelle R, munie de la loi additive (cf. nombres RÉELS), est un groupe topologique. Il en est de même du groupe multiplicatif R = R 漣0 et de son sous-groupe R⁺ formé des nombres réels strictement positifs. L’application exponentielle x 料 e ^x , avec x 捻 R, est un isomorphisme de groupes topologiques de R sur R⁺; l’isomorphisme réciproque est donné par le logarithme ^{[cf. EXPONENTIELLE ET LOGARITHME]}.

3. Plus généralement, on peut considérer les espaces numériques R^m avec la loi additive (et en particulier C^m = R^2m ). Le groupe multiplicatif se généralise en le groupe GL(m , R) des matrices carrées inversibles d’ordre m ; c’est un ouvert de M^m (R) = Rm ² et on le munit de la topologie induite. De même GL(m , C) a une structure de groupe topologique; pour m = 1, c’est le groupe multiplicatif C (cf. nombres COMPLEXES).

4. D’une manière encore plus générale, tous les groupes de Lie sont des groupes topologiques; rappelons que tout homéomorphisme continu d’un groupe de Lie dans un autre est automatiquement analytique, de sorte que, si un groupe topologique admet une structure analytique, celle-ci est unique (cf. GROUPES - Groupes de Lie).

5. Soit E un espace vectoriel normé, réel ou complexe (cf. espaces vectoriels NORMÉS); sa topologie et sa loi additive en font un groupe topologique. Plus généralement, on peut prendre pour E un espace vectoriel topologique (cf. espaces vectoriels TOPOLOGIQUES). Le groupe multiplicatif des éléments inversibles d’une algèbre de Banach est un groupe topologique (cf. algèbres NORMÉES).

6. Considérons un groupe G et un ensemble face=F9796 L de sous-groupes distingués de G qui est filtrant pour la relation 念; le filtre engendré par face=F9796 L définit sur G une topologie qui en fait un groupe topologique. Par exemple, on peut prendre pour face=F9796 L l’ensemble des sous-groupes d’indice fini de G.

Un cas particulier important est celui où l’on se donne une filtration de G par des sous-groupes distingués, c’est-à-dire une suite décroissante (Gⁿ ), avec n 捻 Z, de sous-groupes distingués. Par exemple, la topologie p -adique sur le groupe additif Q est définie par la filtration (p ⁿ Z) où p est un nombre premier (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques).

7. Pour qu’un groupe topologique G soit séparé , il faut et il suffit que l’intersection des voisinages de l’élément neutre e soit réduite àe, ou encore quee soit fermé.

8. Soit G et H des groupes topologiques; le produit G 憐 H muni de la topologie produit et de la loi de groupe produit est un groupe topologique. On peut de même considérer le produit d’une famille quelconque de groupes topologiques. Par exemple, R^m est le produit de m facteurs identiques à R. Le groupe multiplicatif C est isomorphe au produit R⁺ 憐 U, où U désigne le groupe multiplicatif de nombres complexes de valeur absolue 1 (muni de la topologie induite par C).

Sous-groupes, groupes quotients

Soit G un groupe topologique et H un sous-groupe de G; la topologie induite sur H par celle de G en fait un groupe topologique. Par exemple, les groupes classiques, qui sont des sous-groupes de GL(m , R) ou de GL(m , C), ont une structure de groupe topologique: ce sont des groupes de Lie (cf. GROUPES - Groupes classiques et géométrie). L’adhérence H 漣 d’un sous-groupe H de G est encore un sous-groupe; si H est distingué, il en est de même de H 漣. Pour qu’un sous-groupe soit ouvert, il faut et il suffit qu’il ait au moins un point intérieur, et alors il est aussi fermé; ainsi, lorsque la topologie de G est définie par un ensemble filtrant de sous-groupes distingués (cf. exemple 6), ces sous-groupes sont à la fois ouverts et fermés et G est totalement discontinu. La composante connexe de l’élément neutre e dans un groupe topologique G est toujours un sous-groupe distingué fermé G⁰; c’est le sous-groupe engendré par un voisinage arbitraire de e .

Les sous-groupes fermés de R distincts de R sont de la forme a Z, avec a 捻 R; ils sont discrets (les autres sous-groupes sont partout denses). Plus généralement, les sous-groupes fermés de R^m sont de la forme:

où V est un sous-espace vectoriel, isomorphe à R^s , de R^m , et W 力 Z^t est un sous-groupe engendré par une partie d’une base d’un supplémentaire de V; un tel sous-groupe est de rang s + t et est discret dans le cas où s = 0. On appelle réseau de R^m un sous-groupe discret de rang maximum, c’est-à-dire engendré par une base de R^m , donc isomorphe à Z^m .

Parmi les groupes topologiques localement compacts, les groupes de Lie (cf. exemple 4) sont caractérisés par la propriété d’admettre un voisinage de l’élément neutre e ne contenant pas d’autre sous-groupe quee (A. Gleason et H. Yamabe, 1953). On en déduit qu’un groupe localement compact et localement connexe qui est de dimension topologique finie est un groupe de Lie; il en est ainsi, en particulier, des groupes topologiques qui sont des variétés topologiques, localement isomorphes à des ouverts de R^m ; cela fournit une réponse (partielle) au cinquième problème de Hilbert. À l’opposé, tout voisinage de e dans un groupe localement compact totalement discontinu contient un sous-groupe ouvert; on en déduit que la topologie d’un groupe compact totalement discontinu est définie par un ensemble filtrant de sous-groupes distingués (cf. exemple 6).

Soit H un sous-groupe distingué d’un groupe topologique G. La topologie et la loi de groupe quotient font de G/H un groupe topologique, qui est séparé dans le cas où H est fermé et qui est discret dans le cas où H est ouvert. Par exemple, si G est un groupe compact totalement discontinu, son quotient G/H par un sous-groupe distingué ouvert est discret et compact, donc fini. Le tore à une dimension T = R/Z est un exemple important de groupe quotient; il est compact, car il est séparé (Z étant fermé dans R) et image de l’intervalle compact [0, 1]. Les groupes quotients séparés de R^m sont de la forme T^t 憐 R^m size=1^{漣 r} , où r = s + t est le rang du noyau; un tel groupe est compact seulement si r = m. Le quotient 神⁰(G) = G/G⁰ d’un groupe topologique G par la composante connexe G⁰ de son élément neutre est un groupe topologique séparé et totalement discontinu, discret si G est localement connexe.

Tout morphisme f : GH de groupes topologiques admet une décomposition canonique:

où Ker f est le sous-groupe distingué f ^-1(e ) de G; le morphisme face="EU Caron" キ est bijectif, mais ce n’est pas un homéomorphisme en général. On dit que f est un morphisme strict si face="EU Caron" キ est un homéomorphisme; cela a lieu en particulier si G/Ker f est compact (resp. localement compact dénombrable à l’infini) et f (G) séparé (resp. de Baire). Par exemple, le morphisme:

de R dans C est un morphisme strict:

Limites projectives de groupes topologiques

Soit I un ensemble ordonné filtrant supérieurement (c’est-à-dire tel que toute paire d’éléments ait une borne supérieure). Un système projectif , indexé par I, de groupes topologiques est un système (Gⁱ , f ^ij ) où les Gⁱ , pour i 捻 I, sont des groupes topologiques et où f ^ij , pour i, j 捻 I avec i 諒 j , est un morphisme de G^jw dans Gⁱ . Par définition, la limite projective:

de ce système est le sous-groupe du groupe produit 神Gⁱ formé des éléments x = (x ⁱ ) tels que f ⁱ (x ^j ) = x ⁱ pour tout i 諒 j et G a donc une structure de groupe topologique. Lorsque les morphismes canoniques GGⁱ identifient les Gⁱ à des quotients séparés de G, on dit quelquefois que les Gⁱ donnent une approximation de G.

Considérons un groupe topologique G et une famille (Hⁱ ) de sous-groupes distingués fermés, filtrante pour la relation 念. Les morphismes canoniques GG/Hⁱ définissent un morphisme:

si tout voisinage de e dans G contient l’un des Hⁱ , on démontre que f est un morphisme strict dont le noyau est 勒 et dont l’image est dense dans G . En particulier, si G est compact, f est un isomorphisme de G sur G ; un groupe compact totalement discontinu G est isomorphe à la limite projective des groupes finis G/H, où H est un sous-groupe distingué ouvert: on dit que G est un groupe profini pour exprimer cette propriété d’approximation par des groupes finis. Par exemple, le groupe de Galois d’une extension galoisienne infinie d’un corps commutatif est un groupe profini ^{[cf. CORPS]}.

Tout groupe localement compact contient un sous-groupe ouvert approchable par des groupes de Lie.

Structures uniformes, groupes complets

Soit G un groupe topologique; à tout voisinage V de l’élément neutre on associe l’ensemble V^g (resp. l’ensemble V^d ) des couples (x , y ) 捻 G 憐 G tels que x size=1^{漣 1}y (resp. yx size=1^{漣 1}) appartienne à V. Lorsque V parcourt le filtre des voisinages de e , les V^g (resp. les V^d ) forment le filtre des entourages d’une structure uniforme compatible avec la topologie de G et dite structure uniforme gauche (resp. droite); en général les structures uniformes gauche et droite sont distinctes, bien qu’isomorphes par la symétrie x 料 x size=1^{漣 1}. Cependant, elles coïncident si G est commutatif ou compact. Si G est séparé et si e a un système fondamental dénombrable de voisinages, on peut construire une distance d sur G qui définit sa structure uniforme gauche (resp. droite) et est invariante à gauche (resp. à droite), c’est-à-dire telle que:

pour g , s , t 捻 G; ainsi G est métrisable (cf. espaces MÉTRIQUES).

On dit que G est complet si l’une ou l’autre des structures uniformes gauche et droite en fait un espace complet (c’est-à-dire où tout filtre de Cauchy converge). Par exemple, les groupes localement compacts sont toujours complets. Soit 廬G le complété d’un groupe topologique pour sa structure uniforme gauche; la loi de G se prolonge continûment en une loi de monoïde sur 廬G, mais la symétrie x 料 x size=1^{漣 1}, pour x 捻 G, ne se prolonge pas en général, et 廬G n’est pas un groupe. Si G est commutatif, son complété 廬G est un groupe topologique; il en est de même si la topologie de G est définie par une famille filtrante (Hⁱ ) de sous-groupes distingués tels que les quotients G/Hⁱ soient complets. Alors le morphisme:

se prolonge en un isomorphisme de 廬G sur G . Par exemple, la limite projective 廬Z des quotients finis Z/m Z de Z est le complété de Z pour la topologie des sous-groupes d’indice fini (cf. exemple 6); c’est le groupe de Galois de la clôture algébrique d’un corps fini, engendré topologiquement par l’élément de Frobenius a 料 a ^q où q est le cardinal du corps de base. Le complété de Z pour la topologie p -adique (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques) est:

La théorie des familles sommables et des séries peut se développer dans un groupe topologique complet commutatif noté additivement comme dans R (cf. SÉRIES ET PRODUITS INFINIS).

Voici un résultat technique utile en algèbre commutative. On associe à tout groupe G filtré par des sous-groupes distingués Gⁿ (cf. exemple 6) la famille des groupes quotients (Gⁿ /G^{n +1}), pour n 捻 Z; on obtient ainsi un «groupe gradué», que l’on note gr G. Si u : GH est un homomorphisme de groupes filtrés tel que u (Gⁿ ) 說 Hⁿ , pour tout n , on désigne par grⁿ u l’homomorphisme de Gⁿ /G^{n +1} dans Hⁿ /H^{n +1} déduit de u par passage au quotient, d’où le morphisme de groupes gradués gr u : gr Ggr H. On munit G et H des topologies définies par leurs filtrations et on suppose que G est réunion des Gⁿ et H réunion des Hⁿ . Alors:

a ) si G est séparé et si gr u est injectif, u est injectif;

b ) si G est complet et H séparé, et si gr u est surjectif, u est surjectif (si H est discret, l’hypothèse que G est complet est inutile);

c ) si G est complet et H séparé, et si gr u est bijectif, u est bijectif.

2. Espaces à groupe d’opérateurs

Soit G un groupe topologique et E un espace topologique. Une loi d’opération de G à gauche sur E est une application continue de G 憐 E dans E qui vérifie les axiomes suivants, où g .x désigne l’image de (g , x ) dans E:

1. Associativité: quels que soient g , h 捻 G et x 捻 E, on a g .(h .x ) = (gh ).x .

2. Quel que soit x 捻 E, on a e .x = x , où e désigne l’élément neutre de G.

On définirait de même les lois de composition à droite.

Pour tout x 捻 E, l’application orbitale 﨏^x : g 料 g .x de G dans E, avec g 捻 G, a pour image l’orbite G.x de x , et l’image réciproque de x par 﨏^x est un sous-groupe G^x de G appelé le stabilisateur de x . Deux orbites distinctes dans E sont disjointes; ainsi les orbites sont les classes pour une relation d’équivalence sur E, et l’on désigne l’espace topologique quotient par E/G (ou par G/E si on veut rappeler que G opère à gauche).

Soit H un sous-groupe d’un groupe topologique G; il opère à droite sur G par la loi (s, h ) 料 sh , pour s 捻 G et h 捻 H. L’orbite s H de s est aussi appelée sa classe à droite suivant H; le groupe G opère à gauche sur le quotient G/H par la loi (g , s H) 料 gs H, pour g , s 捻 G, et cela de façon transitive (il y a une seule orbite). Lorsque G est métrisable complet, on démontre que G/H est encore métrisable complet pour tout sous-groupe fermé H de G.

On dit que G opère proprement sur E si l’application (s , x ) 料 (x , s.x ) de G 憐 E dans E 憐 E est propre. Alors, les applications orbitales sont propres, les orbites sont fermées et les stabilisateurs sont compacts ; enfin, pour tout x 捻 E, l’application orbitale définit un isomorphisme de G/G^x sur G.x (en particulier si G opère proprement et transitivement dans E, l’espace E est isomorphe à G/G^x pour tout x 捻 E). Lorsque G est localement compact et E séparé, pour que G opère proprement il faut et il suffit que la condition suivante soit satisfaite: Quels que soient les points x et y de E, il existe des voisinages V et W de x et de y respectivement tels que l’ensemble des s 捻 G pour lesquels on a s .V 惡 W 禮 soit un ensemble relativement compact , donc fini dans le cas particulier où G est discret. Dans ce cas, si E est localement compact, on a encore le critère suivant pour une loi d’opération propre: Pour toute partie compacte K de E, l’ensemble des s 捻 G pour lesquels on a s .K 惡 K 禮 est un ensemble fini.

3. Anneaux topologiques

On appelle anneau topologique un groupe topologique A commutatif, noté additivement, muni d’une loi multiplicative continue A 憐 AA qui en fait un anneau ^{[cf. ANNEAUX ET ALGÈBRES]}. Un morphisme d’anneaux topologiques est une application continue qui est un homomorphisme d’anneaux.

Exemples

1. Les anneaux discrets sont des anneaux topologiques.

2. Les corps R et C des nombres réels et complexes, les anneaux M^m (R) et M^m (C) des matrices carrées d’ordre m à coefficients réels ou complexes, les algèbres normées, réelles ou complexes, sont des anneaux topologiques.

3. Les corps p -adiques Q^p (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques) et l’anneau des adèles A (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques) sont des anneaux topologiques.

4. On peut faire d’un anneau A un anneau topologique, un «anneau linéairement topologisé», au moyen de la topologie définie par une famille filtrante décroissante d’idéaux bilatères (cf. chap. 1, exemple 6).

On peut encore associer une topologie compatible avec la structure d’anneau à toute filtration (Aⁿ ), avec n 捻 Z, suite décroissante de sous-groupes du groupe additif de A telle que A^m Aⁿ 說 A^{m +n} , pour m , n 捻 Z et 1 捻 A⁰. Par exemple, si face=F9828 m est un idéal bilatère de A, il définit une filtration dite face=F9828 m-adique, pour laquelle Aⁿ = face=F9828 mⁿ si n 閭 0 et Aⁿ = A si n 麗 0; on en déduit la topologie face=F9828 m-adique sur A. Pour A = Z et face=F9828 m= p Z, où p est nombre premier, on retrouve la topologie p -adique; comme autre exemple, signalons le cas où A = K[X¹, X², ..., X^r ] est un anneau de polynômes à coefficients dans un anneau commutatif K et où face=F9828 m = (X¹, X², ..., X^r ).

Soit A un anneau topologique; sa loi multiplicative se prolonge continûment en 廬A 憐 廬A廬A et le complété 廬A est encore un anneau topologique. Par exemple, le complété Z^p de Z pour la topologie p -adique est un anneau topologique; on peut en dire autant du complété:

de K [X¹, X², ..., X^r ] pour la topologie face=F9828 m-adique, où face=F9828 m = (X¹, X², ..., X^r ). Cet anneau filtré complet n’est autre que l’anneau des séries formelles en les Xⁱ à coefficients dans K. Soit A un anneau commutatif et face=F9828 m un idéal maximal de A; le complété de A pour la topologie face=F9828 m-adique est un anneau local d’idéal maximal 廬 face=F9828 m (c’est le cas de Z^p et de l’anneau des séries formelles si K est un corps).

Soit A un anneau commutatif complet pour une topologie définie par une famille filtrante d’idéaux face=F9828 a; le complété de l’anneau de polynômes A[X¹, X², ..., X^r ] pour la topologie définie par les idéaux face=F9828 a[X¹, X², ..., X^r ] s’identifie au sous-anneau de A[[X¹, X², ..., X^r ]] formé des séries formelles dont les coefficients tendent vers 0 dans A; cet anneau est appelé l’anneau des séries formelles restreintes. Le lemme de Hensel (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques, chap. 2) a une formulation générale dans ce cadre.

Soit A un anneau commutatif et un idéal de A; pour tout A-module M, la filtration face=F9828 m-adique (face=F9828 mⁿ M), avec n 捻 N, fait de M un groupe topologique additif tel que la loi externe A 憐 MM soit continue («module topologique»). Le théorème de Krull affirme que, dans le cas où A est noethérien et M de type fini, la topologie induite par celle de M sur un sous-module quelconque N est identique à la topologie face=F9828 m-adique de N, définie par la filtration (face=F9828 mⁿ N). Si face=F9828 m est contenu dans le radical de A (intersection des idéaux maximaux), tout A-module de type fini est séparé pour la topologie face=F9828 m-adique et le complété 廬M d’un tel module M s’identifie à 廬A 辰^A M; les suites exactes de modules de type fini le restent après complétion; autrement dit, 廬A est plat sur A.

4. Corps topologiques

On appelle corps topologique un anneau topologique K qui est un corps et dans lequel l’application x 料 x size=1^{漣 1}, pour x 捻 K et x 0, est continue. Les plus importants des corps topologiques sont les corps valués , dont la structure est définie par une valeur absolue , c’est-à-dire une application x 料 |x | de K dans R⁺ vérifiant:

quels que soient x , y 捻 K. Une valeur absolue définit une distance d (x , y ) = |y 漣 x |, donc une topologie. On dit que la valeur absolue est ultramétrique si elle vérifie la condition suivante, plus forte que (VA³):

quels que soient x , y 捻 K; dans ce cas, l’application v : x 料 log 1/|x | de K = K 漣0 dans R est une valuation , c’est-à-dire vérifie, pour x , y 捻 K, les deux conditions:

Inversement, toute valuation définit une valeur absolue par la formule |x | = a ^{v (x )}, où a est un nombre réel choisi dans l’intervalle ]0, 1[.

Exemples

1. Sur le corps Q des nombres rationnels, les valeurs absolues sont de l’un des trois types suivants:

a ) la valeur absolue impropre, qui vaut 0 en 0 et 1 ailleurs;

b ) les valeurs absolues p -adiques:

’on a 0 麗 a 麗 1 et où v^p est la valuation p -adique (cf. théorie des NOMBRES - Nombres p -adiques);

c ) les applications x 料 |x |^s , où |x | est la valeur absolue usuelle et où l’on a 0 麗 s 諒 1. Ces valeurs absolues définissent la même topologie que la valeur absolue usuelle.

Les corps topologiques localement compacts sont des corps valués (cf. théorie des NOMBRES - Nombres algébriques).

Si K est un corps valué non ultramétrique, il existe un isomorphisme j de K sur un sous-corps partout dense de l’un des corps R, C ou le corps H des quaternions et un nombre réel s 捻 ]0, 1] tels que |x | = |j (x )|^s , pour x 捻 K (théorème d’Ostrowski).

Le complété d’un corps topologique K est un anneau qui n’est pas un corps en général; cependant c’est un corps dans le cas où K est valué.

Encyclopédie Universelle. 2012.